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196の日記

完全に開発メモと雑談、その他忘れそうな計算式などを書き溜める場所になっています!

一次遅れ周波数~共役複素数どうしのものを掛ける計算

タイトル通りです。


{\frac{1}{2j}}[G(jω){e}^{jωt}-G(-jω){e}^{-jωt}]

こちら、G(jω)G(-jω)は共役複素数であり、{e}^{jωt}と、{e}^{-jωt}も共役複素数です。
これを考慮して計算をしていき最終的には下のような式にするのが目標です。

{|G(jω)|sin(ωt+∠G(jω))}


最初とても悩みました。あまりごりごりしたの計算は得意なほうではありませんので笑
で、結局解くまでの道のりは以下の3つでした。

複素数極座標表現 複素数G(jω)=|G(jω)|{e}^{j∠G(jω)}と書ける。
オイラー公式を使用する
③共役複素数どうしの引き算の性質 [tax:s-(*s)=j2Im[s]]を使う(*sはsの複素共役の意味で使用してます)


まず与式のG(jω)G(-jω)を①を使用して置換。この時、絶対値の値は距離の意味なので、G(jω)G(-jω)の絶対値は等しい。(式は書くの大変なんで省略)よって式は|G(jω)|でくくれる。

そうすると、かっこの中身はe^{j(ωj+∠G(jω))}とその共役複素数の引き算になっていると思います。そこで(ωj+∠G(jω))=Aとおいてあげるとしたのような式になります。


\frac{1}{2j}|G(jω)|(e^{jA}-(*e^{jA})) (*は複素共役の意味で使ってます)



ここで③を使用したいのですが、Imの値がわからないため②を使用していったん、sin,cosの式に直します(略)
すると、(e^{jA}-(*e^{jA})=2jsinAという式が導けるはずです!

あとはもう大丈夫ですね!途中まで計算した式に今導き出した式を代入してやれば、

{|G(jω)|sin(ωt+∠G(jω))}

が出てきます!




この計算を調べたときまったくヒットしなかったので、一応書き残しておきました!では!